多重对数函数

多重对数函数（英语：polylogarithm，也称：Jonquière's function）是数学中一种特殊的幂级数，定义为：

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$

一般来说，多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中，自变量|z| < 1，s对所有复数值有效。通过解析延拓，可以将z的定义域扩展到更大的范围。

复平面上几种不同的多重对数函数

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}(z)}$

s = 1时的多重对数函数可以用自然对数表示
polylog(1,z) = Li₁(z) = −ln(1−z),
s = 2时, 可以用 2重对数函数称为
dilogarithm = dilog(x) = polylog(2,x)，

其名称的由来是多重对数函数表示为以下的递回积分式：

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}\,\mathrm {d} t.}$

因此s = 2的多重对数函数可表示为自然对数的积分，以此类推。若其阶数s为零或负的整数，其多重对数函数为有理函数。

多重对数函数出现在费米-狄拉克分布及玻色-爱因斯坦分布解析解的积分式中，因此也称为费米-狄拉克积分或玻色-爱因斯坦积分。