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大学生数学手册(李威)

内容简介

目录

第2章导数与微分31
§２1导数概念31
导数定义31
导数定义式的不同形式32
左导数定义32
右导数定义32
单侧导数32
函数在一点可导的
充要条件32
导数几何意义32
切线与法线33
开区间内可导33
闭区间上可导33
导函数定义33
可导性与连续性的关系33
高阶导数定义34
§22函数的求导法则34
导数四则运算法则34
反函数求导法则35
复合函数求导法则35
隐函数求导法则35
对数求导法则36
参数方程求导法则37
常数和基本初等函数的导数公式39
常用高阶导数公式39
相关变化率40
§23函数微分概念与微分运算法则41
微分定义41
可微的充分必要条件42
函数在任意点的微分42
基本初等函数的微分公式42
函数和、差、积、商的微分
法则44
复合函数微分法则44
本章知识点及其关联网络45

第3章微分中值定理与导数应用46
§31微分中值定理46
费马引理46
罗尔定理46
拉格朗日中值定理46
拉格朗日中值定理推论46
柯西中值定理46
泰勒公式47
§32导数应用49
极限的未定式49
洛必达法则49
函数单调性判别法则51
函数凹凸性定义51
函数拐点定义52
函数凹凸性判别法53
函数极值定义53
函数极值的必要条件53
函数极值第一充分条件53
函数极值第二充分条件54
函数极值第三充分条件54
曲线的渐近线54
曲线的弧微分公式55
曲率公式56
本章知识点及其关联网络57

第4章不定积分58
§41不定积分的概念与性质58
原函数定义58
不定积分定义58
积分曲线59
不定积分性质59
§42不定积分的计算方法59
直接积分法60
换元积分法60
分部积分法61
基本积分公式61
§43特殊函数的不定积分63
(1)有理函数的积分63
有理函数63
有理函数真分式的部分分
式之和公式64
有理函数积分法65
(2)三角函数有理式的积分65
三角函数有理式65
三角函数有理式积分法65
(3)简单无理函数的积分66
简单无理函数66
简单无理函数积分法66
常见的无法用初等函数
表示的不定积分66
本章知识点及其关联网络67

第5章定积分68
§51定积分的概念与性质68
定积分定义68
可积的充分条件69
关于定积分的两点规定70
定积分性质70
§52微积分基本公式72
积分上限函数定义72
积分上限函数的性质73
牛顿莱布尼兹公式73
§53定积分的计算74
定积分的换元积分法74
定积分的分部积分法75
定积分的几个常用结果75
§54反常积分76
无穷限的反常积分定义76
无穷限反常积分的计算78
无界函数反常积分的定义79
无界函数反常积分的计算80
本章知识点及其关联网络82

第6章定积分应用83
§61定积分元素法83
定积分元素法83
§62几何应用84
(1)平面图形面积84
直角坐标系中平面图
形面积84
极坐标系中平面图形面积85
(2)空间体的体积86
旋转体的体积86
平行截面面积已知的
空间体的体积86
(3)平面曲线弧长87
平面曲线弧长的定义87
曲线弧长公式88
§63物理应用89
变力沿直线做功89
水压力90
引力91
§64平均值94
函数的平均值94
函数的均方根94
本章知识点及其关联网络95

第7章空间解析几何与向量代数96
§71空间直角坐标系96
空间直角坐标系96
空间点的坐标97
空间两点间的距离公式98
§72空间向量及其运算98
向量98
空间点M的向径98
自由向量99
向量a与b相等99
向量a与b平行99
向量的模99
单位向量99
向量加法99
向量加法的运算算律100
负向量101
向量的差101
向量与数的乘法101
向量与数的乘法运算算律101
向量平行的充分必要条件102
非零向量的单位化102
§73向量的坐标102
向量坐标102
向量加法、减法和数乘运
算的坐标表示102
向量a//b的坐标表示103
向量模的坐标表示103
两向量的夹角103
向量的方向角103
向量的方向余弦及其性质103
向量在轴上的投影104
投影定理104
投影性质104
§74数量积向量积混合积105
(1)向量的数量积105
数量积定义105
数量积的性质106
数量积的运算算律106
数量积的坐标表示106
两个向量夹角余弦
的坐标表示106
(2)向量的向量积107
向量积定义107
向量积的性质107
向量积的运算算律107
向量积的坐标表示107
(3)向量的混合积108
混合积的定义108
混合积的坐标表示108
混合积的几何意义108
§75空间曲面及其方程109
曲面方程的概念109
旋转曲面109
旋转曲面方程109
柱面110
空间曲面的参数方程111
二次曲面111
二次曲面方程111
§76空间曲线及其方程112
空间曲线112
空间曲线的一般方程112
空间曲线的参数方程112
空间曲线在坐标面
上的投影113
§77平面及其方程113
平面的法向量113
平面的一般方程113
平面的点法式方程113
平面的截距式方程114
平面的两点式方程114
平面束方程114
两平面的夹角114
两平面垂直的条件115
两平面平行的条件115
平面外一点到平面的距离115
§78空间直线及其方程115
直线的方向向量115
空间直线的一般方程115
空间直线的对称式方程116
空间直线的参数方程116
两直线的夹角116
两直线夹角的余弦公式117
直线与平面的夹角117
直线与平面夹角的公式117
直线外一点到直线的距离117
本章知识点及其关联网络118

第8章多元函数微分法及其应用119
§81多元函数的基本概念119
坐标平面119
平面点集119
平面上两点间的距离119
平面上点P0的δ邻域120
平面上点P0
的去心δ邻域120
内点120
外点120
边界点与边界120
聚点121
开集121
闭集121
连通集121
区域(或开区域)121
闭区域122
有界点集和无界点集122
二元函数定义122
n元函数定义122
二元函数极限定义123
二元函数连续定义123
二元函数间断点定义124
多元连续函数的和、差、
积、商的连续性124
多元连续函数的复合
函数的连续性124
多元初等函数的概念124
多元初等函数的连续性124
有界闭区域上连续
函数的性质125
§82偏导数126
二元函数偏导数定义126
二元函数偏导数的
几何意义127
二元函数高阶偏导数概念128
二阶混合偏导与求导顺
序无关的条件129
§83全微分129
二元函数的偏增量与
偏微分的概念129
二元函数的全增量与全
微分的定义129
全微分存在的必要条件130
全微分存在的充分条件130
n元函数全微分的表达式131
§84多元复合函数的求导法则131
中间变量均为一元函
数的情形131
中间变量均为多元函
数的情形132
中间变量既有一元函数又
有多元函数的情形133
全微分形式的不变性133
§85隐函数的求导公式134
单一方程情形134
方程组情形135
多元反函数求导公式136
§86微分在几何上的应用139
空间曲线的切线概念139
空间曲线的切向量140
空间曲线的切线方程140
空间曲线的法平面
及其方程140
其他形式的空间曲线方程
的切线与法平面方程140
曲面的切平面和法
线的概念142
曲面法向量的概念142
曲面的切平面与法线方程143
曲面法向量的方向余弦144
二元函数全微分
的几何意义145
§87方向导数与梯度145
方向导数定义145
方向导数的存在条件
和计算公式146
梯度的概念146
梯度与方向导数的关系147
§88多元函数的极值及其求法148
二元函数极值的定义148
极值的必要条件149
极值的充分条件149
条件极值与无条件极值150
拉格朗日乘子法150
本章知识点及其关联网络①(多元函数微分法)152
本章知识点及其关联网络②(多元函数微分法应用)153

第9章重积分154
§91二重积分的概念与性质154
二重积分定义154
二重积分性质155
§92二重积分的计算法 157
直角坐标系中二重
积分的计算157
极坐标系中二重
积分的计算159
二重积分换元定理161
§93三重积分162
三重积分定义162
三重积分性质163
直角坐标系中三重
积分的计算163
柱坐标系中三重积
分的计算166
球坐标系中三重积
分的计算168
§94重积分应用171
(1)几何应用171
曲面面积171
(2)物理应用172
质心坐标172
转动惯量174
引力175
本章知识点及其关联网络178

第10章曲线积分与曲面积分179
§101对弧长的曲线积分179
对弧长曲线积分的定义179
对弧长曲线积分存在
的充分条件180
对弧长曲线积分的性质180
对弧长曲线积分的
计算公式182
对弧长曲线积分的
计算步骤183
§102对坐标的曲线积分183
对坐标曲线积分的定义183
对坐标曲线积分的
向量表达式185
对坐标曲线积分存
在的充分条件185
对坐标曲线积分的性质186
对坐标曲线积分的
计算公式186
对坐标曲线积分的
计算步骤188
两类曲线积分之间的联系189
§103格林公式190
单连通域与复连通域190
平面区域边界的正方向190
格林公式190
曲线积分与路径无
关的概念191
曲线积分与路径无
关的等价条件191
曲线积分与路径无关
的充分必要条件191
二元函数全微分求
积的概念192
二元函数全微分求积
的条件与方法192
§104曲线积分的应用194
(1)几何应用194
弧长的计算194
柱面的面积195
(2)物理应用195
线状物体的质量195
线状物体的质心196
线状物体的转动惯量197
变力沿曲线作功197
§105对面积的曲面积分198
对面积曲面积分的定义198
对面积曲面积分存
在的充分条件199
对面积曲面积分的性质199
对面积曲面积分的计算
步骤和计算公式200
§106对坐标的曲面积分202
有向曲面的概念202
有向曲面的方向202
有向曲面在坐标
面上的投影203
对坐标曲面积分的定义203
对坐标曲面积分存在
的充分条件205
对坐标曲面积分的性质205
对坐标曲面积分的计算
步骤和计算公式207
两类曲面积分之间的联系208
§107高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
§108斯托克斯公式环流量和旋度210
斯托克斯公式210
环流量和旋度211
§109曲面积分的应用212
(1)几何应用212
空间曲面面积212
(2)物理应用212
曲面状物体的质量212
曲面状物体的质心213
面状物体的转动惯量213
本章知识点及其关联网络①(曲线积分)214
本章知识点及其关联网络②(曲面积分)215

第11章无穷级数216
§111常数项级数的概念和性质216
常数项级数定义216
级数的前n项和数列216
级数收敛和发散定义216
级数余项定义217
收敛级数的基本性质 217
级数收敛的必要条件218
柯西审敛原理218
§112常数项级数的审敛法218
正项级数定义218
正项级数收敛的充
分必要条件218
正项级数的比较审敛法219
正项级数的比较
审敛法推论219
三个重要级数的敛散性220
正项级数比较审敛法
的极限形式220
正项级数的极限审敛法221
正项级数的比值
审敛法（ 达朗贝尔 ( D’Alembert) 判别法）221
正项级数的根值
审敛法（柯西 (Cauchy) 判别法）222
交错级数定义222
交错级数审敛法
（莱布尼兹定理）222
绝对收敛和条件收敛222
绝对收敛级数的性质223
§113幂级数224
函数项级数定义224
函数项级数的收
敛域和发散域224
函数项级数的和
函数及余项225
幂级数226
阿贝尔（Abel）定理226
阿贝尔（Abel）定理推论226
幂级数的收敛半径、
收敛区间和收敛域 226
幂级数收敛半径的求法227
幂级数的四则运算227
幂级数和函数的性质229
泰勒级数230
麦克劳林级数231
函数展成泰勒级数231
常用函数的麦克劳林级数231
§114函数项级数的一致收敛性232
函数项级数的一致收敛性232
函数项级数一致收
敛性的判别法（维
尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）233
一致收敛级数的性质233
幂级数的一致收敛性235
§115复数项级数和欧拉公式235
复数项级数235
复数项级数的收敛性236
复数项级数的绝对收敛性236
欧拉（Euler）公式236
§116傅里叶级数237
三角级数237
傅里叶级数237
收敛定理（狄利
克雷（Dirichler）
充分条件）237
奇函数与偶函数的
傅里叶系数238
正弦级数238
余弦级数238
以2l为周期的函数的
傅里叶级数239
本章知识点及其关联网络 ①(数项级数)241
本章知识点及其关联网络②（幂级数、傅里叶级数）242

第12章微分方程243
§121微分方程的基本概念243
微分方程定义243
微分方程的阶243
n阶微分方程的一般形式243
微分方程的解243
微分方程的初始条件244
微分方程的通解和特解244
微分方程的积分曲线244
§122一阶微分方程244
可分离变量的微分
方程及其解法244
齐次方程及其解法244
一阶线性微分方程245
一阶线性齐次微分
方程的通解245
一阶线性非齐次微分
方程的通解246
伯努利方程246
伯努利方程解法246
全微分方程247
全微分方程解法247
积分因子247
§123高阶可降阶微分方程248
y(n)=f(x)型的
微分方程248
y″=f(x,y′)型的微
分方程248
y″=f(y,y′)型的微分方程248
§124高阶线性微分方程249
二阶线性微分方程249
二阶齐次线性微分方程
解的叠加原理249
函数的线性相关与
线性无关249
二阶齐次线性微分方
程的通解结构250
n阶齐次线性微分方程
的通解结构250
二阶非齐次线性微分方
程的通解结构250
二阶非齐次线性微分方
程解的叠加原理251
§125常系数齐次线性微分方程251
二阶常系数齐次线
性微分方程251
二阶常系数齐次线性微分
方程的特征方程252
二阶常系数齐次线性微分
方程的求解步骤252
n阶常系数齐次线
性微分方程252
n阶常系数齐次线性微分方
程的特征方程253
n阶常系数齐次线性微
分方程的通解253
§126常系数非齐次线性微分方程254
二阶常系数非齐次线
性微分方程254
f(x)=eλxPm(x)型254
f(x)=eλx［Pl(x)cosωx
+Pn(x)sinωx］型254
本章知识点及其关联网络256

第13章行列式257
§131行列式的概念257
排列257
排列的逆序与逆序数257
n阶行列式的定义257
几种特殊行列式的值258
§132行列式的基本性质259
行列式的基本性质259
余子式和代数余子式263
§133行列式按行（列）展开定理263
行列式按行(列)展开定理263
范德蒙行列式264
§134克莱姆法则解线性方程组264
克莱姆法则264
克莱姆法则的等价定理265
本章知识点及其关联网络266

第14章矩阵及其运算267
§141矩阵的概念267
矩阵定义267
几种特殊矩阵267
§142矩阵的运算269
矩阵的线性运算269
矩阵线性运算的性质269
矩阵的乘法270
矩阵乘法满足的运算规律270
方阵的幂271
方阵的幂的运算规律271
矩阵的转置271
矩阵转置的运算规律272
方阵的行列式272
方阵的行列式的运算性质272
共轭矩阵272
共轭矩阵的运算规律272
对称矩阵272
反对称矩阵272
伴随矩阵273
§143逆矩阵273
逆矩阵的定义273
可逆的充分必要条件274
逆矩阵的运算性质274
矩阵方程的求解274
逆矩阵的求法275
§144矩阵的初等变换276
矩阵初等变换定义276
等价矩阵276
等价的性质276
初等矩阵276
初等矩阵的性质279
§145矩阵的秩281
r阶子式281
矩阵秩的定义281
矩阵秩的性质281
利用初等变换求矩阵的秩282
§146分块矩阵法282
分块矩阵定义282
常用分块法282
分块矩阵的运算284
本章知识点及其关联网络289

第15章向量组的线性相关性290
§151向量及其线性运算290
向量的定义290向量的线性运算…………………290
两向量的相等290向量线性运算的性质……………291
§152向量的线性相关性292
线性组合292
向量的线性表示292
向量能由一组向量线性表
示的充分必要条件292
两个向量组的线性
表示与等价292
两个向量组的线性表示与
等价的充要条件293
线性相关与线性无关293
向量的线性相关性
的判别定理293
向量线性相关性的
几个重要定理294
向量线性相关性的
几个重要结论295
§153最大无关组与向量组的秩295
最大无关组定义295
向量组的秩296
向量组的秩的重要定理296
§154向量空间296
向量空间296
向量空间的基297
向量空间的维数297
向量在某组基下的坐标297
子空间298
基变换公式298
坐标变换公式299
§155向量的内积299
向量的内积299
向量的长度300
柯西施瓦兹不等式301
两向量的夹角301
正交向量组的性质301
§156标准正交基与正交矩阵301
标准正交基301
施密特正交化方法301
正交矩阵302
正交矩阵的性质302
本章知识点及其关联网络304

第16章线性方程组305
§161齐次线性方程组305
齐次线性方程组305
齐次线性方程组
有解的判别306
齐次线性方程组解的性质306
齐次线性方程组
的基础解系306
齐次线性方程组解的结构306
齐次线性方程组的求解（利用
矩阵的初等变换）步骤306
§162非齐次线性方程组307
非齐次线性方程组307
非齐次线性方程组
有解的判别308
非齐次线性方程组
解的性质308
非齐次线性方程组
解的结构309
解n元非齐次线性方程
组的步骤309
本章知识点及其关联网络310

第17章特征值特征向量311
§171特征值、特征向量及其性质311
方阵的特征值、特征向量311
特征矩阵，特征多项式，
特征方程311
特征值、特征向量的求法312
特征值、特征向量的性质312
§172相似矩阵313
相似矩阵313
相似矩阵的性质313
§173矩阵可对角化的条件315
矩阵可对角化…………………315矩阵可对角化的条件315
§174实对称矩阵的对角化315
实对称矩阵的性质315
本章知识点及其关联网络317

第18章二次型及其标准形318
§181二次型的矩阵表示，合同矩阵318
二次型318
二次型的矩阵318
标准形319
合同矩阵319
合同矩阵的性质319
线性变换320
§182线性变换化二次型为标准形321
配方法321
正交变换法321
用正交变换法化二次型
为标准形的步骤322
惯性定理322
§183正定二次型、正定矩阵323
正定二次型、正定矩阵323
n元二次型 f(X)=XTAX是
正定二次型（n阶矩阵 A
是正定矩阵）323
n元二次型 f(X)=XTAX是
负定二次型（n阶矩阵
A是负定矩阵）324
n元二次型 f(X)=XTAX是
半正定二次型（n阶矩阵
A是半正定矩阵）325
本章知识点及其关联网络326

第19章随机事件与概率327
§191随机试验327
随机现象327
随机试验327
§192样本空间、随机事件327
样本空间与样本点327
随机事件328
事件的关系和运算328
事件的运算算律329
§193频率与概率330
频率330
频率的性质331
概率的统计定义331
概率的公理化定义331
概率的性质332
§194等可能概型（古典概率）333
古典概型333
概率的计算公式333
古典概率的性质333
几何概率334
§195条件概率335
条件概率定义335
条件概率的性质335
乘法公式335
划分（完备事件组）336
全概率公式336
贝叶斯公式（Bayes）
（逆概率公式）336
§196独立性337
两事件的独立性337
三事件的独立性337
n个事件的相互独立性338
本章知识点及其关联网络339

第20章随机变量及其分布340
§201随机变量340
随机变量………………………340
§202离散型随机变量及其分布律340
离散型随机变量340
分布律340
常见的离散型分布341
§203随机变量的分布函数342
分布函数的定义342
分布函数的性质342
§204连续型随机变量及其概率密度343
连续型随机变量343
连续型随机变量的性质343
常见的连续型分布343
§205随机变量函数的分布348
离散型随机变量
函数的分布348
连续型随机变量函
数的分布348
本章知识点及其关联网络350

第21章多维随机变量351
§211二维随机变量351
二维随机变量定义351
联合分布函数351

二维离散型随机变量352
二维连续型随机变量353
§212边缘分布354
边缘分布函数354
边缘分布律354
边缘概率密度355
§213条件分布355
条件分布律355
条件概率密度356
§214相互独立的随机变量356
二维随机变量相互
独立的定义356
随机变量相互独立的
判别方法356
两个重要的二维分布357
§215二维随机变量的函数的分布359
Z=X+Y的分布(二维随机变
量和的分布)359
M=max{X，Y}及N=
min{X，Y}的分布(两个随
机变量的最大最小分布)360
本章知识点及其关联网络362

第22章随机变量的数字特征363
§221数学期望（简称均值）363
离散型随机变量的
数学期望363
连续型随机变量的
数学期望363
随机变量函数的数学期望364
数学期望的性质365
§222方差366
方差的定义366
方差计算公式366
方差的性质366
常见随机变量的
期望和方差366
§223协方差及相关系数367
协方差定义367
协方差的性质367
相关系数368
相关系数性质368
不相关368
§224矩369
k阶矩369
k阶中心矩369
混合原点矩369
混合中心矩369
本章知识点及其关联网络370

第23章大数定律与中心极限定理371
§231大数定律371
切比雪夫不等式371
大数定律371
§232中心极限定理372
独立同分布的中
心极限定理372
棣莫弗拉普拉斯定理373
本章知识点及其关联网络375

第24章样本及抽样分布376
§241随机样本376
总体376
样本376
样本的分布376
§242抽样分布377
统计量377
常用统计量377
χ2分布（卡方分布）378
t分布380
F分布381
正态总体的样本
均值的分布383
正态总体的样本
方差的分布383
正态总体的样本均值与
样本方差关系的分布383
两正态总体的样本均值
差和方差比的分布384
本章知识点及其关联网络385

第25章参数估计386
§251点估计386
点估计的定义386
矩法估计法387
似然函数…………………………387
最大似然估计法388
§252估计量的评选标准390
无偏性390
有效性390
相合性(一致性)390
§253区间估计391
置信区间391
寻求置信区间的方法391
§254正态总体均值与方差的区间估计392
单个正态总体均值
的区间估计392
单个正态总体方差
的区间估计393
两个正态总体均值
差的置信区间393
两个正态总体方差
比的置信区间394
§255（01）分布参数的区间估计394
§256单侧置信区间395
本章知识点及其关联网络396

第26章假设检验397
§261假设检验397
假设检验397
显著性检验398
假设检验的步骤398
假设检验的几种检验法398
§262正态总体均值的假设检验399
单个正态总体均值
的假设检验399
两个正态总体均值差
异的显著性检验400
§263正态总体方差的假设检验401
单个正态总体方差
的假设检验401

两个正态总体方差的齐
性检验( F检验法) 402
本章知识点及其关联网络403

附表404
附表1标准正态分布表404
附表2泊松分布表406
附表3t分布表409
附表4Χ2分布表412
附表5Ｆ分布表417


问题 ？

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